社会扩散模型概要

扩散的基本定义

扩散通常被定义成一种过程：创新通过该过程在一个社会系统的成员中随时间在不同的渠道传播。作为一个社会系统的过程，扩散具有4个关键元素：创新、传播渠道、时间和社会系统。

• 创新：新的想法\产品\目标，比如社会传言、药品、器材、商品等
• 传播渠道：信息传播的方式如大众传媒、人际关系等
• 时间：时间通常于扩散的速度和规模相关联。
• 社会系统：社会系统即创新的潜在采纳者，比如某个地区的全部医生（新药采纳问题），也可以是政府企业乃至全体公民

看完定义就可以发现，扩散过程会是互联网行业非常关注的一个话题。

基础扩散模型

基础扩散模型蕴含了相当多假定：

• 扩散过程是二分的，要么采纳，要么不采纳
• 潜在采纳者的上限固定
• 一个采纳单位只有一次采纳
• 该创新独立于其他创新
• 内部和外部的影响系数都是固定的（不随时间变化）
• …

在这些假定之下，基础扩散模型存在三种增长扩散模式

外部影响模型

模型表达式

$$\frac{dN(t)}{dt}=a[\overline{N}-N(t)]\\$$

其中
$N(t)$表示t时刻的采纳者人数
$\overline{N}$表示潜在采纳者总数
$a$表示外部影响的系数，来自社会系统的外部；通常可以认为是大众传媒对扩散的影响。

该模型的特点：

• 不考虑先行采纳者和潜在采纳者的交互作用
• 总的增长速率恒定递减
• 增长曲线是一个指数衰减曲线，扩散曲线可以表示为$N(t)=\overline{N}[1-exp(-at)]​$

应用案例：

• 新药在美国西部社区医生中的扩散（1966）
• 罢工\暗杀在发展中国家的传播扩散（1973）

个人理解这个模型只适用于社会成员彼此孤立（个体信息交流不便捷）的时候，现代社会成员通讯发达，先行者和潜在者的交互是很难忽略的。

内部影响模型

该模型假定扩散仅仅通过人际接触进行。

$$\frac{dN(t)}{dt}=bN(t)[\overline{N}-N(t)]\\$$

其中
$N(t)$表示t时刻的采纳者人数
$\overline{N}$表示潜在采纳者总数
人际交互由$N(t)[\overline{N}-N(t)]$表示。

该模型的特点：

• 只考虑人际接触的传播
• S型增长曲线，表达式可以表示为$N(t)=\frac{\overline{N} }{ 1+\frac{\overline{N}-N_0}{N_0}exp[-b\overline{N}(t-t_0)]}$

应用案例：

• 工业创新（柴油机）的扩散
• 玉米种子的扩散

当一项创新应用复杂（意味着不方便通过大众媒体传播而更依赖向先行者学习），需要先行者的经验，同时若不采纳会带来劣势（商业上的竞争劣势等），内部影响模型较为合适。

混合影响模型

混合模型同时考虑了外部影响和内部影响

$$\frac{dN(t)}{dt}=(a+bN(t))[\overline{N}-N(t)]$$

该模型特点：

• 同时考虑了内部影响和外部影响，更具通用性

• S型增长曲线，表达式可以表示为

  $$N(t)=\frac{\overline{N}-\frac{a(\overline{N}-N_0)}{a+bN_0}exp[-(a+b\overline{N})(t-t_0)]}{1+\frac{b(\overline{N}-N_0)}{a+bN_0}exp[-(a+b\overline{N})(t-t_0)]}$$

应用案例：

• 耐用消费品的长期销量

耐用消费品确实是一个非常契合基础扩散模型的场合，耐用意味着接纳者只会接纳一次，同时考虑了外部媒体和内部口碑效应的影响。对于互联网产品，基础扩散模型没有考虑到网络效应，同时内部影响的假定略微简单了。

参数估计方法

对于混合影响模型

$$\frac{dN(t)}{dt}=(a+bN(t))[\overline{N}-N(t)]$$

​

离散方式可以表示成

$$N(t+1)-N(t)=a\overline{N}+(b\overline{N}-a)N(t)-bN^2(t)\\ =A_1+A_2N(t)+A_3N^2(t)+e(t)$$

此时可以通过最小二乘法计算出$A$项

最后有

$$a=A_1/\overline{N}\\ b=-A_3 \\ \overline{N}=\frac{-A_2 \pm \sqrt{A^2_2-4A_1A_3}}{2A_3}$$

扩展与改进

可变扩散

jeuland模型

jeuland模型有以下假定

• 扩散过程中外部影响与潜在采纳者的倾向有关
• 潜在采纳者倾向是差异分布的
• 采纳的倾向服从gamma分布

此时

$$F(t)=\frac{N(t)}{\overline{N}}\\ \frac{dF}{dt}=(a+bF)(1-F)^{1+\gamma},其中\gamma是预设参数$$

jeuland模型可以根据参数设定发生退化，当$\gamma=0​$,jeuland模型退化成bass模型（意味着潜在采纳者倾向一致）

动态扩散

动态扩散模型主要是假定潜在上限是可变的

$$\overline{N}(t)=f(S(t)) \\ 此时 \frac{dN(t)}{dt}=(a+bN(t))[f(s(t))-N(t)]\\ 方程的解为\\ N(t)=-\frac{a}{b}+\frac{exp[a(t-t_0)+b\phi(t)]}{(\frac{b}{a+bN_0})+b\int_{t_0}^{t}exp[a(t-t_0)+b\phi(t)]dx}\\ 其中，N(t=t_0)=N_0,\phi(t)=\int_{t_0}^{t}f(S(t))dx$$

案例：

• 估计计算机的自然增长（1967）

  首先假设计算机的潜在采纳者和计算机的价格相关。

  $$\overline{N}(t)=B_0[P(t)]^{-B_1},其中P(t)是价格，B_0，B_1是常数$$

  并使用动态扩散模型来估计计算机销量自然增长

多重扩散

创新并非单独出现的，创新之间具有相互影响的关系。

相互影响关系至少有以下几种：

• 独立性
• 互补性：一项创新采纳的增加会促进另一项采纳（洗衣机和干衣机）
• 有条件性：一项创新采纳要取决于其他创新的采纳情况（计算机软件和计算机）
• 可替代性：一项创新会导致另一项创新的采纳的减少（黑白电视和彩色电视）

比如可替代性可以表示为：

$$\frac{dN_1(t)}{dt}=[a_1+b_1N_1(t)-c_1N_2(t)][\overline{N}_1-N_1(t)]\\ \frac{dN_2(t)}{dt}=[a_2+b_2N_2(t)-c_2N_1(t)][\overline{N}_2-N_2(t)]$$

需要注意的是，替代可能是单向性，彩色电视对黑白电视有替代作用，反过来未必如此。

时空扩散模型

地理上的扩散通常要遵循以下规则：

• 等级效应：先从大的中心点再到小的中心点
• 邻近效应：先从中心开始，逐渐向四周扩散

当设计到地理空间的扩散是，一种方式是根据每个地区的情况使用一个扩散模型，另一种是把邻近效应添加到扩散模型中。

多阶段扩散

多阶段扩散中，社会成员需要经历多个阶段才能变成采纳者（比如，吃瓜群众-潜在采纳者-采纳者），同时采纳者也可能退化遗忘变回吃瓜群众。

dodson-muller模型（1978）

$$基本假定1：\\吃瓜群众+潜在采纳者+采纳者的人群总数守恒\\ \frac{dx(t)}{dt}+\frac{dy(t)}{dt}+\frac{dz(t)}{dt}=0\\ 基本假定2:\\ 吃瓜群众和采纳者的相互作用:\beta x(y+z)\\ 外部影响：\mu x\\ 潜在采纳者向采纳者的转变：\gamma y\\ \frac{dy}{dt}=\beta x(y+z)+\mu x-\gamma y\\ \frac{dz}{dt}=\gamma y$$ $$最后，把 x=M-\overline{N}(t),y=\overline{N}(t)-N(t),z=N(t) 带入前面微分方程即可$$

带重复采纳的扩散

基础模型只允许一次采纳，现实中扩散可以带多种采纳。

Lilien重复购买模型（1981）

$$N（t+1）= a(t)[\overline{N}-N(t)]+b[N(t)-N(t-1)][\overline{N}-N(t)]+c(t)N(t)\\ 其中，a(t)[\overline{N}-N(t)]反应外部影响，b[N(t)-N(t-1)][\overline{N}-N(t)]表示口头相互交流，c(t)N(t)表示继续采纳者$$

带中介的扩散

假设各个因素都受到中介的影响

$$常见的假设如：\\ 把价格作为内部影响的关键：b_t=\beta_1exp(-\beta_2 \times price_t)\\ 把广告花费作为外部影响的关键：a_t=\alpha_1+\alpha_2\times ln(A_t)$$